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2020/06/16
算数・数学の問題を解く過程の美しさにこだわる。
１番いい解き方を考える。算数・数学において「考える」ということは、「１番いい解き方を考える」ということです。当塾では、問題を解くことにこだわるのではなく、問題の解き方にこだわることを指導します。「もっと良い解き方はないか？」と考える。数学は難しい問題になればなるほど、いろいろな解き方で解くことができます。そして、一番最初に思いついた問題の解き方が、難しいであった場合、解くのに非常に時間がかかってしまいます。最初に思いついた問題の解き方で解くより、考えて簡単な解き方を見つけ簡単な解き方で解いた方が、難しい解き方よりもかなり時間的に短く解くことができます。個人塾で個別指導塾のサクシードでは生徒さんといっしょに簡単な解き方を見つけれるようになるためにはどうすれば良いか？考えます。
それは、日頃の勉強において問題を解くことに満足するのではなく、解き方について「もっと良い解き方はないか？」と考え、問題をより簡単に解こうといろいろな解き方を考えてみることできるのも個人塾の良さです。テストのように短い時間でたくさんの問題を解かなければならない場合は別ですが、日頃の勉強においては問題を「解く」ことだけに満足するのではなく、「問題の解き方」にこだわり複数の解き方を考えていきましょう。
なお、テストの場合においても、問題を解いていく中であんまり複雑でごちゃごちゃした場合は、別の解き方を考えた方が良い場合があります。数学の解答につながる道は複数あります。テストのように限られた時間内でたくさんの問題を解く場合、ある１つの問題において「解き方を考える時間」があまりにも長くなると、そこで「どんなに良い解き方」を考え付いたとしても、テスト全ての問題を解くために必要な時間がなくなってしまいます。そのため、塾で訓練していきます。テストの場合においては、「解き方を考える時間」と「実際に問題を解いていく時間」のバランスに注意しましょう。個別指導塾で、工夫して解くことを学んでください。
【保護者の皆様、生徒のみなさんへ】
新型コロナウイルス対策につきまして。当塾では、換気の徹底、塾長のマスク着用、検温など、新型コロナウイルス対策をより一層強化し指導を行っております。先日まで実施していました『午前中無料・塾教室開放』につきましても同じです。
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2020/06/13
数学の図を書く生徒は伸びる♪
①図は広いスペースに描こう。
授業中、ノートに図を描くときにスペースがもったいないからと小さく隙間に描いたりしていませんか？テストでは限られたスペースの中で図を収めて描かなければなりませんが、小学生・中学生の算数・数学ではなるべく大きく図を描いて問題に取り組みましょう。
②『小さく描いたらダメな理由』
図を小さく描いてしまうと、かえって混乱を招く恐れがあります。図は何のために描くのかというと、情報を整理したり、問われている図を可視化して想像しやすくしたりするために描きます。個人塾・個別指導塾サクシードでは、図の描き方も指導いたします。数学では、問題を解くにあたって必要となる情報がすべて書き込まれていること、必要でない情報は省かれていることが求められます。はっきりとした線で、大きく濃く描いて、見やすく情報がまとめられた図を描くことを心掛けましょう。
③『必要な線かどうか見極めて描こう』
問題文ではさまざまな情報を与えられます。しかし、問題を解くためにそれらすべての情報を使うとは限りません。問題を解くために必要となる部分だけをピックアップして描くことで、情報が整理された見やすい図を描くことができます。
④『問題を意識しながら図を描こう』
まず問題文から何を聞かれているのかを読み取る必要があります。何を聞かれているのかを把握した上で、その問題を解くに必要な情報と不必要な情報を選別してから図を描きましょう。『きちんと消しゴムを使おう』テスト本番は時間が限られているので、消しゴムを使って消すことを時間の無駄と考える人がいます。しかし、図を描いて考える問題の場合は、余計な線や情報を省いてなるべくすっきりとした図を描くことが大切です。
⑤『情報を図に書き込もう』
情報は問題を解くための武器です。答えを導くために必要な情報を漏らさず図に書き込んで初めて図が完成します。そして、そこからが問題を解くスタートになるのです。
⑥『解いていてわかったことも書き込もう』
問題を解いている過程で明らかとなった情報もその都度、自分が描いた図に書き込んでいくと良いでしょう。
⑦まとめ
図をスムーズに描くと、問題を解くスピードも向上します。小学生・中学生の算数・数学では正確な図を描くことができるようになれば、その図を見ていて解法がひらめくこともあります。情報が整理された無駄のない図を描いて考えることで、タイムロスを減らしましょう。小学生・中学生の皆さんには、『目で見て』解決することの大切さを知ってほしいと思います。個人塾・個別指導塾サクシードはそのためのお手伝いを致します。 -
2020/06/10
★ ケチケチ定義（言葉の正確な意味や用法）
形の本質をずばっと捉えている性質を使って形の仕組みを説明したものが定義です。この時、定義に含める仕組みは最小限のものにしている、ということです。定義にもりこむものをできるだけケチって、出発点にする仕組みをできるだけシンプルにしておくのです。数学では定義を考える際に、２つのしかたでケチっていますが、その２つのしかたに共通しているのは、ある仕組みからルールにしたがって ストーリーを展開することを、大切にするという点です。ところが小学生・中学生には定義のルールが明確でない生徒さんが多いです。個人塾の個別指導塾では、定義について丁寧に指導します。
第１のケチり方は、ある仕組みからストーリーを展開して見出せる情報は定義に含めない、ということです。例えば、平行四辺形では向かい合う辺は同じ長さになっていたり、向かう合う角は大きさが等しくなっています。しかし、そうした性質は「向かい合う辺が２組とも平行になっている」という定義に含めた仕組みから導くことができるので、できるだけケチるという点から、定義には含めていません。このケチり方のメリットは、チェックの際に手間が最小限ですむことです。この形が本当に平行四辺形かを確認するのに、２つ、３つの条件を確認するよりも、「向かい合う辺が２組とも平行になっているかな」と１つの条件を確認するだけですむ方が楽です。定義をできるだけケチってシンプルにしておくことは、こうしたチェックを楽にします。
第２のケチり方は、できるだけ多くの形の話を１つの定義ですませてしまおうということです。例えば「向かい合う辺が２組とも平行になっている」という仕組みを持っている形のことは、すべて１つの定義ですませてしてしまうのです。例えば、みなさんが「平行四辺形」ときいて思い浮かべるイメージでは、隣り合う角の大きさは違っているのではありませんか。そこで、平行四辺形の定義の中にこの「隣り合う角の大きさは異なる」という条件を含めたら、どうなるでしょう。この場合、隣り合う角がどちらも90°である長方形や正方形は平行四辺形ではないことになってしまいます。でも、長方形や正方形でも「向かい合う辺が２組とも平行になっている」ので、当然長方形や正方形も持っているはずです。このとき、わざわざ「その性質を、平行四辺形と長方形と正方形は持っている」と説明するのは手間がかかります。ここで「向かい合う辺が２組とも平行になっている」という仕組みを持っている形のことは、すべて１つの定義ですませるようにしておけば、長方形や正方形も平行四辺形の一種ということになりますから、「その性質を、平行四辺形は持っている」と説明すればよいことになります。実は上の説明で「長方形や正方形」と書いていますが、長方形の本質を示す仕組みを「４つの角が等しいこと」だとして、これで長方形を定義すると、正方形も４つの角が等しいので、正方形は長方形の一種だということになり、上の「長方形や正方形」の部分は実は「長方形」だけでよくなります。説明の文字数が節約できて、ケチケチの精神にぴったりです。個別指導の個人塾だからこそ、定義や定理について話すことができます。
このように小学生・中学生には、定義はシンプルにルールづけられていることを知ってほしいと思います。 -
2020/06/04
「ぼくには時間がない」
わずか21歳のとき決闘で死んだフランスの天才数学者エバリスト・ガロア（Évariste Galois（1811.10.25～1832.5.31））は、フランス革命から20年の後パリ郊外に生まれた。15歳の頃、学校で数学の勉強をして強い興味を感じたけれど、間もなく教科書に不満を感じて、数学の専門書を自分で読んで勉強した。
▼工科大学の受験に2回失敗した。失敗したのは面接官の質問が余りに簡単で、ガロアには幼稚に見えて、まともに答えなかったためだといわれている。やがて数学の論文を書いて発表するようになったが、提出した原稿を教授に紛失されてしまったり審査する学者に理解できない内容であったために掲載を拒否されたりした。▼ガロアが研究していたのはどんなことだったのだろう。個別指導塾の個人塾ではこんなお話もできます。
当時の多くの数学者はax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0（５次方程式）にも解の公式があるに違いない。ややこしいだろうけれどないわけない、と考えていた。ガロアが証明したのは、「5次以上の方程式には一般解がない」というものだ。この証明は決定的に重要だったのは、結論を導くために作られた理論だった。いわゆる群論である。群論は、他の数学のようにゴールがあって数式を丹念に追っていけば理解できるようなものとは大きく異なる。言ってみれば、人の思考や行為そのものといった操作を対象にした数学なのだ。
▼当時のフランスは、ナポレオンのあとフランス革命の成果をなしにしようとする反動の時代にあった。ガロアの純粋な精神は反動政治を許そうとせず、エコール・ノルマル在学中から共和派として革命運動に参加、せっかく入った大学を1年で退学処分にされている。フランス7月革命の闘士でありながら、恋人をめぐる決闘に散ったのだ。決闘した殺し屋は、 相手のガロアがどんなすばらしい数学者であるかまったく知らない。
▼ガロアは自分の中にすばらしい数学の発見があるのに、自分にはわかっているのに、誰にも知らせずに死ぬかもしれない。彼は徹夜でそれまでに得た数学の結果をまとめて、友人シュバリエ宛に手紙として29日付で発送した。決闘の日の朝、「ぼくには時間がない」とノートの余白に走り書きながら書き上げた論文が、その後の数学を変えた。いわゆる「ガロア理論」だった。それが遺言だった。ロマンあふれる話ができるのは個別指導の個人塾だからです。
▼……このような時代を経て今日がある。高校で習う数学の一つ一つにも、最初の発見のときがある。数学も正しく勉強すれば、いろいろ考えることができるし、そうすることが君たちを鍛え力をつける。
★小学生・中学生・高校生にもロマンあふれる数学者を紹介できるのも個人塾の良いところです。（参考；すばらしい数学者たち・矢野健太郎） -
2020/06/03
集合は数学の基礎
ほとんどの数学の基礎は集合にある大切な概念です。しかし，中学生・高校生が数学の中で集合をハッキリと意識することはそれほどないと思います。中学・高校数学でも「場合の数」や「確率」などの分野で積極的に集合を扱う場面もあるため，集合の扱いには慣れておく必要があります。
集合の基礎知識集合は以下のように定義します。数学的な対象の集まりを集合という。たとえば、1以上10以下の整数の集合。1以上10以下の実数の集合。自然数全部の集合。など集合には様々なものが考えられます。厳密に集合を定義していなくても、小学生・中学生の範囲で困ることはまずあり得ませんから、集合とは「数などの数学的なモノの集まり」とざっくり思っていて大丈夫です。
集合の表し方①
集合を構成する１つ１つの対象を要素(または元ゲン)という。たとえば、「6の正の約数の集合」をAとするとき、1,2,3,6はいずれもAの要素です。集合の表し方…集合は中括弧{ }で要素を括ることで表すことができます。たとえば、「1と3と5と7を要素とする集合」は{1,3,5,7}「12の正の約数全部の集合」は{1,2,3,4,6,12}「正の偶数全部の集合」は{2,4,6,8,10･･･}「整数全部の集合」は{･･･-2,-1,0,1,2,･･･}などと表します(このように，要素を書き並べて表す方法を「内包的記法」)数の集合について丁寧に個別指導できる個人塾です。
集合の表し方②
また，12の約数全部の集合{1,2,3,4,6,12}は{x｜xは12の約数}と表すこともできます．これはどういう表し方かというと、前の {x｜ の部分で，まず「この集合は x 全部の集合である」と宣言し、後ろの｜xは12の約数}の部分で、「 x は12の約数である」と宣言しています。併せて、「 x は12の約数であり，この集合は x全部の集合である」ということになります。(このように、「要素」と「要素が満たす条件」で表す方法があります)たとえば，{2n-1｜n=1,2,3,･･･}は「正の整数nに対して，2n-1と表せるものの集合」、{2n｜n=1,2,3,･･･}は「正の整数nに対して，2nと表せるものの集合」という意味になります。実際に要素を書き並べると、それぞれ{1,3,5,7,9,･･･}(正の奇数全部の集合)、{2,4,6,8,10,･･･}(偶数全部の集合)となります。この条件を用いて表す方法を用いると、書き並べて表すことができない集合も表すことができます。集合の要素と部分集合x が集合Aが要素であるとき，x∈Aと書き、 x はAに属するという。たとえば，A={･･･,-6,-3,0,3,6,･･･} (3の倍数の集合)とするとき、3∈A、6∈A、-24∈Aなどとなります。
集合は数学の出発点です。小学生・中学生の頃から、集合（物の集まり）の考え方に慣れてほしいと思います。指導の合間にも数学的な雑談ができるのも個別指導塾・個人塾サクシードの良いところです。