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2022/12/16
問題を解くための思考と技能
数学の学習の大原則のひとつは「思考を正すこと」です。問題文を読んだときに思ったこと、浮かんだこと、やろうとしたこと。すべてが正しい方向に修正されれば、正しく解答できるという至ってシンプルな話です。問題演習をたくさん行うわけですが、「思考を正そう」と思って取り組んでほしいと思います。
もうひとつの大原則は「計算力をつけること」。もちろん小学校で勉強した四則計算から始まり、方程式や不等式、平方根や指数などの計算ができるようになること。問題を見た瞬間にある程度頭の中で計算を進めて見通しを立てること。数学ではこれも計算力のひとつに入ります。思考方針の正し方は、自分がどのように考えているかを具体化することから始まります。
・考えたことをきちんと絵・グラフや文章に起こしてみる。何も浮かばないから何も書かないというのはなし！
・考えたことを日本語の文章として他人に伝えるための「記述答案」にまとめてみる。
ゴールから逆算して何を求める必要があるのかを考える。何を求めるのかというゴールから逆算していくことで、はじめの一歩として何をすべきかが見えることがあります。Aを求めるということは、Bがわかれば良いということだ。Bを求めるにはCを計算すればよい。Cを計算するにはまず、Dを変形することだ。このように考えていくことで、まず答案はDの変形から行なえばいいということが導けます。ぜひ、試してみてください。
実験して得られた具体例から法則を見抜く(具体⇒抽象)
大きい数字を扱う問題であったり、サイコロをn回投げるという抽象的な設定の問題の場合は、そこにどういった法則があるのかはそのまま眺めているだけでは一向に見えてきません。具体的な数字を代入して実験しながら、どういう法則があるのかを観察・考察してみましょう。
思考力以外には「計算力」にほかなりません。しかし、思考力に比べて格段に見過ごされ、過小評価されてしまう項目です。塾や予備校でも、計算に特化した講座やトレーニングは行ってくれないことがほとんど。「計算は誰でもできる」「解法・解き方のほうが大事」。決して間違っているとはいいません。自分に計算力があるかどうかというのはなかなか客観的に判断できないものです。計算力の強化はもはや本質的な理解と切り離せない考え方であり、必要不可欠なものです。
ガウスを始め、過去の大数学者は、「計算のエキスパート」でした。
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2022/12/14
保護者様への報告を兼ねた会話(雑談)
基礎学１年は、「定期テスト」と同じです。基礎学２年は、「実力テスト」程度。基礎学３年は難しいと言われますが、理由は、１年～３年までの全範囲に拡がるからです。生徒は忘れてるんですね。１年２年で習得したことを。もうひとつの理由は、特に３年は、会話形式の長文が入ることがよくあります。国語です。読解力を問われているのと同じ。こんな形式には反対の立場です。読み取り力を問うなら、「国語」で問えって思います。長文の中に、必要な事柄と、使わない事柄も混じっています。しょーもないと思います。「太郎くんは～考えました」、「花子さんは違う解き方をしましたが、途中で間違えて、答えが◇◇になりました」～冗談は良子さん（笑）『間違えるなよ。知らんがな(>_<)』って思いませんか？
基礎学作成委員をした私の意見。…7割は点数をいただける(くれる)基礎的問題。2割は少しひねった問題です。大問の(1)(2)は、いただける問題です。(3)はひねっています。「捨て問」にしてもいい。時間が余れば、考えてみますわ～程度。普通に、点数をくれる問題にミスしなければ、80点以上はとれます。70点前後だったら、必ずいただける問題でミスしています。
今日は、立体（空間図形）について学習しました。すい体（円すい、三角すいなど）、柱体（円柱、三角柱、四角柱など）…円すいの体積まで。すい体は V＝1/3sh（底面積×高さ×1/3）円柱の体積、表面積は次回に。立体の表し方には、二通りあります。①見取り図。②投影図。投影図は、立面図と平面図から成り立っています。ほぼすい体、柱体（円柱など)練習しました。まだ甘いとこもあります。折々に、固めていきます。おうぎ形(面積・体積〈組み立てて、円すい〉)の様々なタイプはたくさん訓練しました。ほとんど自力で正解できました。たいへんMちゃんの理解能力は高いと思います。一問だけ、おうぎ形⇒ (中心角の比)＝(面積の比)＝(弧の長さの比)を利用して、半径を求める問題。ほとんどの生徒さんは歯が立ちません。文字(半径をrと)で置き換えて、式変形して求めます。
解説しているとき、理解できた！って表情でよくわかりますよ。「比」を利用して求める問題を、Mちゃんから説明してもらってください。保護者様にわかるように解説できたら、なお理解が深まります。インプットよりアウトプット。(3:7)で、解いたり、他の人に説明したりすると、なお定着します。学校でも集団塾でも講義を聞いて、なんとなくわかった…では身についていないんですね。「講義」だけでは、実際の問題に当たって、全くといっていいほど手が動きません。わかったような気になっているだけです。サクシードは、解説の時は、ゆっくり丁寧に、じっくり染み渡るように説明することを心がけています。その後は、「質問」があるまで待っています。横やり入れたら、生徒さんの思考が乱れますから。
次回、「球」の表面積・体積の公式を使って練習します。たいていの「公式」や「定理」は証明して見せた後、使って問題に慣れさせています。残念ながら「球」については、丸暗記しなくては仕方ないのです。積分を使って証明します。普通の高校生では証明できません。やがて､Mちゃんがトップグループに喰いこむことを期待して、わたしも努力を致します。目指せ！医学部(^_^)/ -
2022/12/12
算数・数学の「思考力問題対策」
①近年ますます出題が増えていると言われる思考力問題、これを解く力を身につけておかなければと思うけれど、「思考力」ってどんな力なんだろう、うちの子にはどう対策させればいいんだろう、と悩まれてはいませんか？「算数・数学」の「思考力」は読んで字のごとく「思考する力」ですが、問われているのは「論理的に考える力」です。「根拠」を筋道立てて「結論」を導き出す力です。入試での「根拠」は問題に示されている情報とそれに関係する知識で、「結論」は、解答すべきことになります。
②思考力問題を解くポイントは、問題の中から必要な情報を見つけ出し、知識と組み合わせること。今までの問題と変わらないのではと思われるかもしれません。これまでと違うのは、「問題に示されている情報を見つけるところに一手間かかる」。解答に必要な情報を見つけるには、「問題を読み解く力＝読解力」が必要になります。算数や数学では、国語のように、「作者の心情を読み解く」や「作者の言いたいことを見つける」とは、違います。見つけるべき情報は、「必ず知識とつながる」ことがポイントです。
③基礎・基本をしっかり身に付けることが大前提です。算数・数学の「知識」とは、計算のきまりや法則、定義・定理といった、基礎・基本の事項になります。具体的な例を挙げてみます。「２つの直線が平行」→「同位角、錯角が等しい」高校入試ではよく出てくる内容で、問題文には「２つの直線が平行」としか書かれていなかったりします。しかし、この１文には、平行線と交わる直線でできる角、同位角や錯角が等しいことも、示されているわけです。このことに気付くには、「２つの直線が平行」とくれば「同位角」や「錯角」が関係すると見抜ける力が必要です。
④計算の文章題では「読み替え」算数の問題で説明してみます。「Ａさんは５枚のカードを持っています。Ｂさんから４枚のカードをもらいました。Ａさんのカードは合わせて何枚になりましたか。」この問題の場合、「合わせて」を「たして」に読み替えて、たし算にして計算します。このように、算数・数学で使う言葉や式への読み替えは、必ず出てきます。いろいろな情報が隠されていたり、つけ加えられたり、表現が変わったりしています。
それを見つけられるようにするためにも、基礎・基本をしっかり身に付けることが大前提です。
基本は簡単に感じても、基礎は難しいと感じることがある。基礎は大事な土台となるだけに、深く追究していきたい。 -
2022/12/10
数学とは問題解決のトレーニング
数学を学ぶ中で得られた思考法は、社会生活を送るための課題を解決するための下地になります。日常の問題には明確な答えがないものも多くありますが、数学で培う頭の使い方はきっと活きてきます。
答案には操作説明を書くのではなく理由根拠を書くことが大事です。「2乗すると」と書かなくても立式を見れば2乗していることはわかるが、なぜ2乗したのか、なぜ2乗しても論理が破綻しないのかは、読み手には伝わってきません。数学ができる人は「真似る」のが上手です。基本を大切にし、その手順を再現することに移す。良い意味で自分を消すことができる。
自分の考えや感覚を重視する。数学（算数）がつまらなく難しいと感じる原因は、無味乾燥な数字の学問だと思っているからではないでしょうか。大学時代の数学専攻の友人曰く数学は数字の学問ではなく考え方の学問です。つまり論理学や哲学に近いということ。
「数論」の演習問題を論理記号を使い論理学で解いたのが記憶に残っています。指導教官が逆に教えてもらっていましたから。小学生から数学の本来の考え方を身につければ、算数はもっと意味のあるものになるかも…。2¹⁰⁰－2⁹⁹=2⁹⁹(2-1) =2⁹⁹ がなかなか理解できない人もいるだろう。理由は、式が具体的だからであろう。式を2A-A=Aに抽象化できれば、いとも簡単に納得してくれるかもしれない。
数学的思考とは何か。
・「定義をしないと始められない」
・数学の最大の特徴は何か
・定義とは定めること。「○○とは～である」と言語化（ルール化）することです。
何よりも、「定義をする」って、とてつもないパワーを持っています。「必要十分な規則」は暗記することから始まります。もう一度、基本に立ち返って、「平行四辺形ってなに？」「ひし形とは？」「方程式を解くとは？」「平方根って？」「無理数とは？」「円の接線の接点に下ろした半径は垂直に交わる」…これらの事柄がすらすらと言えるようにしてほしいと思います。 -
2022/12/8
「遠回りすることが一番の近道」
遠回りをしたからこそ得られるものがある。
①小手先のテクニックでは限界があるということは、仕事でも勉強でも同じことが言えます。根底にある能力を高めない限りは、結果に限界が生じます。効果的に進めるための情報・テクニックが格段と収集しやすい時代になりました。テクニックを駆使するだけでも、ある程度の成果を出すことはできるでしょう。ただテクニックだけでは、成果を出し続けることの限界があるのではないでしょうか。イチロー選手に打撃のコツを教わったとします。
②仮にテクニック・コツがわかったとして、果たしてイチロー選手並みにヒットを打つことができるでしょうか？テクニック・コツが頭でわかったとしても、何度も練習をし、試行錯誤を経る過程を通じない限り、自分のものになりません。限られた時間のなかでも最大限のパフォーマンスを生み出すことが、これまで以上に求められています。試行錯誤する時間もなく、心の余裕もなくなれば、必然的に近道を探したくなる気持ちもわかります。自分の実力をしっかりとつけて、ゴールに向けて「地道に歩んで積み上げていく」ことこそ、実は結果を出す上での最短ルートではないでしょうか。
③こうした努力は、一見遠回りをしているようですが、最終的に自分のものとして血肉化されるので、自分の持ち物になります。変化に合わせてメンテナンスさえしておけば、簡単には錆びません。自らの一生モノの武器になるでしょう。私はこれからも努力を続けていく所存です。
④中国の賢者・孔子の言葉に、・歩みを止めることさえしなければ、どんなにゆっくりでも大丈夫。・どんな物事でも、早く終えたいと、思わないほうが良い。・物事を早く仕上げることばかりを望むと、何事も未完のままである。このような内容の発言があります。どんなことも、ゆっくりで良いから、まずは継続して見ることが大切に感じます。ゆっくりとした継続の中で、「学ぶこと」を体験してほしいと思います。沈思黙考したままの脳内では成果は望めないです。ムダをしたくないからと、めんどくさいからと、思考だけで最善を選択したいと思うものです。これが最も遠回りの選択をさせると思います。
⑤勉強の仕方は、教えることはできません。みなさん一人ひとりが、自己流で一生懸命やっているうちに、「あぁ、こう努力したら点数に結びつく」って気づくんです。基本は、「読む」「書く」「聞く」「鉛筆の動く触覚」…五感をフルに使うことです。
めんどくさいこと、しんどいこと、遠回りに見えることが、一番の近道です。