ブログ
-
2022/8/7
数学の証明とは
数学でいう「証明」とは一般的な「説明」とはちがいますし、「科学的証明」ともちがいます。数学の証明とは、以下２点の特徴をもつものをいいます。
①数ある推論方法のなかでも「演繹」だけを使う。
②すべての場合に当てはまるように「一般化」をしなければいけない。
人間が未知の事柄を予想する手段というのはいろいろあります。
◆経験（ひとりの女にだまされた→女には気をつけねばならない）。
◆類推（チンパンジーは共同で狩りをする→初期人類もそうだったにちがいない）。
◆仮説形成（会社の売り上げが悪い→接客が原因だと仮説を立てる）。
◆帰納的推論（ある遺伝子異常をもつ100人がみな同じ病気だった→この遺伝子異常が病気の原因である）
◆演繹的推論（人間はみんな死ぬと仮定する→陽太は人間である→よって陽太は死ぬ）
わたしたちは日頃、これらの予想手段を区別することなく使っています。
しかし数学の証明においては、演繹的推論以外は「不確実な手段だ」として切り捨てるのです。
演繹以外の手段がどうして不確実なのか、実際に証明方法を比べることで見てみましょう。たとえば「三角形の内角の和は180°である」という事柄を、「類推」「帰納的推論」「演繹的推論」の３通りで証明してみます。
①《類推による証明》（問題）三角形の内角の和は180°であることを証明せよ。証明）正三角形を書いて角度を測ったらすべて60°だった。60+60+60=180 なので、正三角形の内角の和は180°である。三角形はみな、正三角形と似たようなものである。よって、三角形の内角の和は180°である。
この証明に納得できますか？「三角形はみな正三角形と似たようなものである。よって……」の部分が、つっこみどころ満載ですね。だから類推による証明は、いくらでも反論可能ということです。
②《科学的証明（帰納）》帰納的推論で証明してみましょう。この帰納的推論をつかった証明がいわゆる科学的証明というやつです。(問題）三角形の内角の和は180°であることを証明せよ。(証明）三角形をランダムに1万個作って角度を測ったら、その内角の和はすべて180°だった。証拠は十分である。よって、三角形の内角の和は180°である。
この証明はどうでしょう？たいていの人は納得するかもしれません。しかし疑り深い人が「1万1回目は180°じゃないかもしれない」と言い出すかもしれません。じゃあ10万回試したところで、10万1回目は？となってしまいます。このように、科学的証明というのは「絶対にそうだ」とは言えない証明なんです。「見たかぎり、試したかぎりではそうだった」としか言えないんです。これが帰納という推論方法の限界です。
③ 演繹的推論による証明、つまり数学的証明を見てみましょう。(問題）三角形の内角の和は180°であることを証明せよ。(証明）平行線を引き、またそれぞれの角度を a , b , c とする。平行線公理を認めれば、平行線の錯角は等しいので、b=b′ , c=c′…①また一直線は180°なので、a+b′+c′=180…②。①②よりa+b+c=180よって、三角形の内角の和は180°である。演繹という方法は「なぜそうなるのか」という理由を既知の事柄にさかのぼってちゃんと説明できるんです。 参考資料【数学の証明のしかた】 （発見的教授法による数学シリーズ[ 秋山仁 ]）
徳島市・個別指導塾サクシード(小学生・中学生・高校生の個人塾・算数塾・数学塾)塾長
-
2022/8/5
ジム・ロジャーズ氏 「次の大暴落で最もひどい影響を受けるのは日本だ」
『あなたが10歳だったら日本から逃げるか、AK10-47(携帯用の自動小銃)を使えるようにしろ』
日本が大好きな同氏は、つねに若い世代を心配しています。
■「巨額のお金を刷ったツケ」は若い人たちに。
「世界の中央銀行は信じられない額の通貨を発行し、大量の株や債券の買い入れのために巨額の資金を使っている。コロナ以降の経済回復は早かったが、これだけの巨額の資金を使えるのなら、誰もが楽しい時間を過ごせるだろう」
「お金を印刷し続ければ続けるほど、次の大暴落は、よりひどいものになる。そして、数多くの国家が痛手を負うことになるが、その中で一番ダメージを被るのは日本になる。
なぜなら、日本の出生率は低く、外国人をほとんど受け入れておらず、日本銀行は今もなお大規模な緩和を続けているからだ。巨額のお金を刷れば、それだけ通貨の価値は下落する。そして、円安のデメリットは、若い人に対してより重いものになる」、「コロナ給付金」、「Go Toキャンペーン」など、大規模なバラマキに思うところがあった人もいるでしょう。
ロジャーズ氏はその中でも異例の長期にわたる日本の金融政策について心配をしています。これだけの緩和を続けてきた先進国の中央銀行は過去にないからです。「日銀が緩和を続ける限り、円安は続き、いずれ日本国内の誰かが、これほどまでの円安は健全ではないと気づくだろう。どこかで日銀もスタンスを変え、利上げなどの金融引き締めを実施するだろう。だが、そのときには、わずかな引き締めでは足らず、日銀は信頼を勝ち取るために何度も利上げをしなければならなくなるだろう。そのことは、多額の債務を有する日本には大きな試練となる」
■「金利上昇」「円安」「物価上昇」の悪循環の懸念
「日本の将来を考えたとき、ものすごい勢いで子供を増やすか、移民を受け入れるか、とんでもないスピードで借金を減らすなどしない限り、この先も安全で豊かな社会が長く続く見通しは絶望的だ。このまま、若者が減って高齢者が増え、社会保障のサービス水準が変わらないとすると、数少ない若者に重税を課さない限り、借金は増え続けることになる」「このまま何もしなければ、日本には恐ろしい未来が待っている。すぐに消滅することはないが、経済破綻した他国と同じように、外資に買われまくる運命をたどるだろう。
大多数の中間層は、今よりも貧しくなる。そうすれば、おそらく現在のような穏やかで豊かな社会は維持できなくなる」
シンガポール在住の身からすると、日本の算数教育などは先進諸国と比べても優れていると感じます。
ロジャーズ氏が言うように、得意な分野を伸ばして、思い切って海外に飛び立つことも有効のはずです。
安倍は亡くなりましたが、日本を壊してしまったのかもしれません。取り巻きの自民党議員・統一協会と悪の政商・竹中平蔵(パソナ会長・オリックス取締役)たちとともに。《参考資料 : 東洋経済オンライン》 徳島市・個別指導塾サクシード(小学生・中学生・高校生の個人塾・算数塾・数学塾)塾長 -
2022/8/3
自然界の現象は数学によって表現できる
自然界の現象はその多くが数学によってモデルが記述可能です。複雑な自然現象も、生き物の模様も、数式はこの世の秘密を知っている。大空を飛ぶ鳥の群れ。多様な雲のパターン。寄せてはかえす波の形。
これらの現象を解明する最新の方法が数理モデルです。様々な情報を数値と数式で表わし、コンピューターでシミュレーションすることで、ある現象の結果を予測したり、反対に原因を特定することに数理モデルは役立てられています。天気予報や経済の予測などは、身近な数理モデルのひとつです。
まだ16、17歳くらいの特に数学に興味も持たないような若者達が、かくも簡単に微分積分学を学べる時代になったということは、これまでに見てきた微分積分学の歴史を考えれば驚嘆すべきことだとは思いませんか？
数学は社会の裏で私たちの生活を大いに支え、役立っています。皆さんが数学者になる必要はありませんが、数学が出来ると出来ないとでは職業選択の幅が大きく変わってきます（これは年収の幅にも直結しています）。そして自然界の現象はその多くが数学によってモデルが記述可能です。
特に解析学（微分積分学など）の知識は分野を問わず役に立つ便利な道具なのです。是非ともこの学問の重みを味わって、先人達の苦労に感謝しながら勉学に努めてほしいと思います！
《参考資料: 資生堂 PICK UP TECHNOLOGY 》
徳島市・個別指導塾サクシード(小学生・中学生・高校生の個人塾・算数塾・数学塾)塾長 -
2022/7/30
算数・数学の「思考力問題」対策出題が増えている
思考力問題を解く力を身につけておかなければと思います。「思考力」ってどんな力なんだろうと悩まれてはいませんか？
入試で問われているのは「論理的に考える力」、「根拠」を筋道立てて「結論」を導き出す力です。入試での思考力問題を解くポイントは、問題の中から必要な情報を見つけ出し、知識と組み合わせることです。「問題に示されている情報を見つけるところに一手間かかる」。解答に必要な情報を見つけるには、「問題を読み解く力＝読解力」が必要になります。
算数や数学では、国語のように、「作者の心情を読み解く」や「作者の言いたいことを見つける」とは、ちょっと違います。見つけるべき情報は、「必ず知識とつながる」ことがポイントです。基礎・基本をしっかり身に付けることが大前提です。
算数・数学の計算のきまりや法則、定理といった、基礎・基本の事項をしっかりと身に付いて初めて、「問題に示されている情報を見つける」ことができます。
例を挙げてみます。「２つの直線が平行」→「同位角、錯角が等しい」。高校入試ではよく出てくる内容で、問題文には「２つの直線が平行」としか書かれていなかったりします。平行線と交わる直線でできる角、同位角や錯角が等しいことも、示されているわけです。このことに気付くには、「２つの直線が平行」とくれば「同位角」や「錯角」が関係すると見抜ける力が必要です。
計算の文章題では「読み替え」算数の問題で説明します。「Ａさんは５枚のカードを持っています。Ｂさんから４枚のカードをもらいました。Ａさんのカードは合わせて何枚になりましたか。」この問題の場合、「合わせて」を「たして」に読み替えて、たし算にして計算します。このように、算数・数学で使う言葉や式への読み替えは、必ず出てきます。いろいろな情報が隠されていたり、つけ加えられたり、表現が変わったりしているので、それを見つけられるようにするためにも、基礎・基本をしっかり身に付けることが大前提です。
徳島市・個別指導塾サクシード(小学生・中学生・高校生の個人塾・算数塾・数学塾)塾長 -
2022/7/27
文章問題を解くには、紙に書くなど具体化してみましょう
算数の文章題に興味がわいてきたら解くためのコツを身に付けましょう。これは、算数だけではなくいろんな場面でも使えます。「文章に書かれていることを紙に書き出して、整理していく」方法です。これは絵でもいいですし、文章や表でもいいです。
自分が好きなやり方で、文章で書かれていることを自分にとってわかりやすい形に分解し、整理して理解する方法です。低学年のお子さまだと絵でかいてみることがやりやすいかもしれませんね。頭の中で考えていることを見える化することで、文章の内容が整理されてわかりやすくなります。
低学年よりは高学年で文章題を解けるようになる重要なコツですが、こういう見える化習慣は低学年のうちに育てておくことが大切です。そして、この見える化習慣がついていれば、難しい文章題に対しても苦手意識を持ちにくくなります。
中学に入り数学を学ぶようになってもこの力は利用でき、近年出題が目立っている思考力問題といわれる読解力が必要な問題を解く力につながっていきます。
徳島市・個別指導塾サクシード(小学生・中学生・高校生の個人塾・算数塾・数学塾)塾長